Foutvoortplanting

Als alle $k$ grootheden $(x_1,x_2,x_3\cdot\cdot\cdot,x_k)$ zijn gemeten moeten ze meestal worden gecombineerd tot het eindresultaat $E$ van het experiment, waarbij dan geldt:

$$E = E(x_1,x_2,x_3\cdot\cdot\cdot,x_k)$$ (3.8)

De vraag is nu, hoe alle fouten $\Delta x_i$, gecombineerd moeten worden tot de fout van $E(\Delta E)$. Afgeleid kan worden, dat geldt:

$$(\Delta E)^2 = \sum_{i = 1}^k \left(\frac{\partial E}{\partial x_i}\cdot \Delta X_i\right)^2$$ (3.9)

We noemen formule 3.9 de foutvoortplantingsformule. Hij geldt alleen als de toevallige fouten onderling onafhankelijk zijn. Dat hoeft in de praktijk niet altijd het geval te zijn, denk b.v. aan de bepaling van lengte en breedte van een plaatje, waarbij afleesfouten niet de enige oorzaak van de spreiding in de waarnemingen behoeven te zijn maar ook b.v. variaties van een grootheid, die op lengte en breedte dezelfde invloed uitoefend (b.v. de temperatuur). Over het algemeen zullen, we echter aannemen, dat de fouten onafhankelijk zijn.

De fout, zoals in het voorgaande beschreven, dus $\Delta x$,$\Delta E$ enz. noemen we de absolute fout. Ook kennen we de relatieve fout, gedefinieerd als de absolute fout gedeeld door de modulus van de geschatte waarde zelf, symbool:

$$\frac{\Delta x}{x}, \frac{\Delta E}{E}$$ (3.10)

We krijgen, de procentuele fout in procenten door de relatieve fout met 100 te vermenigvuldigen De begrippen relatieve en procentuele fout worden overigens veel door elkaar gebruikt (b.v. relatieve fout in procenten) De foutvoortplantingsformule 3.9 leidt voor een aantal veel voorkomende gevallen tot de volgende resultaten (a en b zijn gemeten grootheden en E is het eindresultaat):

Bewerking	E	$\Delta E$	$\frac{\Delta E}{E}$
Optellen en	$a \pm b$	$\sqrt{(\Delta a)^2 + (\Delta b)^2 }$
aftrekken
Vermedigvuldigen en	$a\cdot b, \frac{a}{b}$		$\sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 +\left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2}$
delen
Machtsverheffen en	$a^n$	$\vert n \cdot a^{n-1}\vert\Delta a$	$\vert n\vert\frac{\Delta a}{\vert a\vert}$
worteltrekken

Het verdient aanbeveling, de regels van voorgaande tabel uit het hoofd te leren, teneinde ze altijd bij de hand te hebben, waardoor voor eenvoudige gevallen het toepassen van de foutvoortplantingsformule vermeden kan worden. Voorzichtigheid is hierbij echter geboden, omdat deze regels alleen tot het juiste resultaat leiden als alle termen in de betreffende uitdrukking onafhankelijk van elkaar zijn.

Om dit te verduidelijken beschouwen we het volgende probleem:

$$E = \frac{a}{a+b}$$ (3.11)

We zien dat eerst quotiënt van de twee faktoren $a$ en $(a + b)$ en er volgt voor de fout volgens de deel regel van de tabel:

$$\frac{\Delta E}{E}= \left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 +\left(\frac{\Delta(a + b)}{a + b}\right)^2$$ (3.12)

Voor de tweede term van het rechter lid van 3.12 kunnen we volgens de optelregel van de tabel schrijven:

$$\left(\frac{\Delta(a + b)}{a + b}\right)^2 =\frac{(\Delta a)^2 +(\Delta b)^2}{(a + b)^2}$$ (3.13)

Zodat we krijgen:

$$\frac{\Delta(E)}{E} = \left( \frac{\Delta a}{a}\right)^2 + \frac{(\Delta a)^2 +(\Delta b)^2}{(a + b)^2}$$ (3.14)

Voor de absolute fout volgt dan volgens $E = \frac{\Delta E}{E}\cdot E$

$$(\Delta E)^2 = \frac{[(a+b)^2 + a^2]\cdot (\Delta a)^2 +a^2 \cdot (\Delta b)^2}{(a +b)^4}$$ (3.15)

We merken nu op, dat teller en noemer van 3.11 afhankelijk zijn ($a$ in teller en noemer). Waren we nu begonnen om de afhankelijkheid er uit te delen, dus door teller en noemer te delen door $a$ dan hadden we gekregen:

$$E = \frac{1}{1 + b/a}$$ (3.16)

Noemen we $b/a = p$ en dus $E =\frac{1}{1+p}$ dan is volgens de regel voor deling:

$$\begin{split}\left(\frac{\Delta E}{E} \right)^2 & = \left(\fr... ...\frac{\frac{\Delta b}{a}}{1 + \frac{b}{a}}\right)^2 \end{split}$$ (3.17)

Verder geldt dat:

$$\left(\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2}\cdot \left[\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2+\left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2\right]$$ (3.18)

$$\left(\frac{\Delta E}{E}\right)^2 = b^2\cdot \frac{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2+\left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2}{(a +b)^2}$$ (3.19)

Voor $\Delta E$ volgt dan:

$$(\Delta E)^2 = \frac{b^2(\Delta a)^2 + a^2(\Delta b)^2}{( a + b)^4}$$ (3.20)

Er is dus verschil tussen 3.15 en 3.20 waarbij de laatste als juist moet worden gekenmerkt. We hadden de regel voor deling niet direkt mogen toepassen, omdat teller en noemer van 3.11 afhankelijk zijn. Passen we tenslotte de foutvoortplantingsformule toe op 3.11

$$% latex2html id marker 2429 \begin{split}\frac{\partial E}{\... ...frac{b^2(\Delta a)^2 + a^2(\Delta b)^2}{( a + b)^4} \end{split}$$ (3.21)

De foutvoortplantingsformule levert hetzelfde (en dus het juiste) resultaat op als 3.20.

Samenvattend kunnen we zeggen, dat de regels van de tabel kunnen worden toegepast op uitdrukkingen. waarin een bepaalde grootheid slechts op één plaats in de uitdrukking voorkomt. In alle andere gevallen moet de foutvoortplantingsformule worden toegepast, het is soms mogelijk om afhankelijkheden er uit te delen, zoals in het voorbeeld.