Spreiding en toevallige fouten.

Stel, dat bij een experiment o.a. de grootheid $\mathbf{x}$ moet worden bepaald. Het streven is dan de werkelijke waarde van $\mathbf{x}$ te achterhalen $\mathbf{x_w}$. Dat kan echter alleen als er oneindig veel waarnemingen aan $\mathbf{x}$ worden verricht. Het rekenkundig gemiddelde van deze waarnemingen zal dan gelijk zijn aan $\mathbf{x_w}$ (als er tenminste geen systematischefout gemaakt wordt).

In de praktijk moeten we ons natuurlijk tevreden stellen met een eindig aantal waarnemingen zodat het vinden van $x_w$ principieel onmogelijk is. Als er $n$ waarnemingen aan $x$ gedaan worden, geven we het rekenkundig gemiddelde $\overline{x}$ op als de beste waarde voor $x_w$ met:

$$\overline{x} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} (i = 1,2,3,\cdot\cdot\cdot, n)$$ (3.1)

Als maat voor de spreiding in de waarnemingsreeks gebruiken we de standaard afwijkings volgens:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}$$ (3.2)

Na enige herleiding ontstaat de meer hanteerbare uitdrukking:

$$s = \sqrt{\frac{n}{n-1}(\overline{x^2} - \overline{x}^2)}$$ (3.3)

Met $\overline{x^2}$ is het gemiddelde kwadraat en
$\overline{x}^2$ het kwadraat van het gemiddelde.

Deze $s$ is (voor $n \gg 1$) niet afhankelijk van $n$, maar wel van de nauwkeurigheid van de meetmethode; hoe nauwkeuriger de methode hoe kleiner $s$. Wanneer de reeks van $n$ waarnemingen een aantal malen als geheel zou worden herhaald zou dat evenveel waarden voor $\overline{x}$ opleveren die onderling ook weer een spreiding vertonen. Als maat voor deze spreiding bestaat de bestaat de standaardafwijking van het gemiddelde of de middelbare fout $s_m$
Tussen $s$ en $s_m$ bestaat het verband:

$$s_m = \frac{s}{\sqrt{n}} s_m = \sqrt{\frac{1}{n-1}(\overline{x^2} - \overline{x}^2)}$$ (3.4)

Aangezioen we $\overline{x}$ opgeven is $s_m$ een maat voor de fout van $\overline{x}$ de afwijking ten opzichte van $x_w$. We geven nu een interval op volgens $x_w = x \pm \Delta x$ waarbij $\Delta x$ de fout van $x$ wordt genoemd en waarvan de grootte bepaald wordt door $s_m$. Om nu een kans van 95 procent te hebben dat x in het opgeven interval ligt nemen we $\Delta x = 2s_m$ (zie statistiek). Op deze manier kunnen voor alle grootheden, die bij een experiment gemeten moeten worden $(x_1,x_2,x_3\cdot\cdot\cdot,x_k)$ de fouten $(\Delta x_1,\Delta x_2,\Delta x_3\cdot\cdot\cdot,\Delta x_k)$ berekend worden.

Om $s_m$ volgens forumle 3.4 te berekenen is nogal wat rekenwerk vereist, maar er bestaat een benadering die voor de foutberekening goed voldoet. We gaan hierbij uit van:

$$r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\vert x_i - \overline{x}\vert$$ (3.5)

Uit de statistiek blijkt nu, dat met een goede benadering voor $s_m$ geldt:

$$s_m = \frac{5}{4}\frac{r}{\sqrt{n - 1}}$$ (3.6)

Als het nodig is, kan hieruit een overeenkomstige uitdrukking voor $s$ worden afgeleid volgens $s = s_m\sqrt{n}$:

$$s = \frac{5}{4} r \sqrt{\frac{n}{n - 1}}$$ (3.7)

In plaats van formule 3.4 kan dus de minder rekenwerk vragende uitdrukking 3.6 gebruikt worden. Voor gevallen, dat er maar één waarneming wordt gedaan $(n =1)$ gaat het bovenstaande niet meer op en moet de fout van de waarneming geschat worden, zoals bijvoorbeeld bij een éénmalige aflezing van een wijzerstand langs een schaalverdeling. Hierbij kunnen constructieve problemen als een de zogenaamde parallax een rol spelen, waarop hier niet nader wordt ingegaan. Vaak geeft de fabrikant van het betreffende apparaat de fout op in de begeleidende documentatie.